Zapraszam Was do znalezienia środka mojego miasta, ale najpierw kilka słów wstępu TUTAJ.

Skrzynka nie znajduje się pod współrzędnymi. Wskazują one na zwyczajowy środek miasta - główny rynek. Aby znaleźć skrzynkę będziecie musieli znaleźć współrzędne środka Konstantynowa Łódzkiego i udać się na miejsce zgodnie z poniższym opisem.

Tym razem omówimy najbardziej środkowy ze środków - środek geometryczny, który w pewnych specyficznych przypadkach zwany jest również środkiem masy lub środkiem ciężkości.

W przypadku niedużego obszaru zagadnienie możemy sprowadzić do dwóch wymiarów, nie ma sensu bowiem rozpatrywanie trzeciego wymiaru - elewacji terenu gdyż w stosunku do odległości od środka Ziemi jest ona znikoma. Przy tak małych obszarach jak Konstantynów Łódzki nie ma sensu również brać pod uwagę krzywizny Ziemi. Zajmiemy się więc obszarem gminy jakby był on figurą płaską. Dla figur płaskich środek geometryczny opisany jest wzorem:

Mając kontur matematycznie dobrze opisany (np. łamaną) można sobie obliczyć tę całkę i dzięki temu znajdziemy współrzędne środka. Ja nie dałem rady, zrobił to dla mnie Żeliwny przy użyciu jakiegoś tam oprogramowaniadzięki! Ale można też łatwiej.

Zakładając, że gęstość powierzchniowa takiego obszaru (lub jego modelu) jest stała możemy mówić o środku masy takiego obszaru. Jeśli w dodatku umieścimy taki obszar (lub model) w jednorodnym polu grawitacyjnym to możemy mówić o środku ciężkości. O ile dla obszaru Konstantynowa Łódzkiego pojęcie środka masy i ciężkości są bardzo abstrakcyjne o tyle są one niezwykle przydatne dla modelu, którym się posłużymy. A dzięki temu, że model ma stałą gęstość powierzchniową i użyjemy go w jednorodnym polu grawitacyjnym łatwo znajdziemy środek ciężkości modelu, który będzie tożsamy z jego środkiem geometrycznym. Znając środek geometryczny modelu będziemy mogli znaleźć środek geometryczny obszaru.

Model, którym się posłużycie musicie częściowo wykonać sami. STĄD pobierzecie sobie plik w formacie PDF, który należy wydrukować. Najlepiej wydrukować go na dość grubej kartce (tak aby miała istotny ciężar i była odpowiednio sztywna) lub wydrukowany kontur nakleić na tekturce. Następnie ten kontur należy wyciąć. Dobrze jest kiedy kontur jest też dość wielki (najlepiej drukować na kartkach A3 i większych) - łatwiej wycinać i odczytać pomiary :)

Jak działa model? Jest to kontur Konstantynowa w bliżej nieokreślonej skali. Najważniejsze jest to, że jest dość dokładny i ma stałą gęstość powierzchniową. Znajdźmy jego środek masy - jest to banalnie proste. Podwieszając taką figurę płaską za dowolny punkt pod wpływem grawitacji obróci się do punktu równowagi tak, że środek ciężkości będzie dokładnie pionowo pod punktem podwieszenia. Jedynym przypadkiem, w którym podwieszenie nie będzie skutkować obrotem pod wpływem grawitacji jest sytuacja, w której punktem podwieszenia będzie środek ciężkości. Wtedy możemy obrócić figurę o dowolny kąt i zawsze będzie ona w stanie równowagi. Dla wygody przygotowałem 12 punktów podwieszenia (nie ma wśród nich środka ciężkości). Kiedy podwiesimy kontur na jednym z punktów dokładnie pod nim będzie znajdował się inny z punktów. Jest 6 takich par. Kiedy połączymy te pary liniami to wszystkie 6 linii spotka się w jednym punkcie - środku ciężkości, który będzie środkiem geometrycznym i który pozwoli nam znaleźć środek geometryczny gminy. Dla ułatwienia znalezienia pionu można wyciąć sobie również strzałkę, która podwieszona za swój koniec pokaże pion.

Wszystkie 12 punktów ma podane (poniżej) rzeczywiste współrzędne geograficzne:

Współrzędne w systemie WGS84:
A: N 51.773615, E 19.314294
B: N 51.760311, E 19.309853
C: N 51.761968, E 19.296640
D: N 51.746563, E 19.339203
E: N 51.743034, E 19.314082
F: N 51.763395, E 19.321471
G: N 51.761873, E 19.331786
H: N 51.755602, E 19.322865
I: N 51.746697, E 19.289011
J: N 51.747817, E 19.321360
K: N 51.755664, E 19.299677
L: N 51.750964, E 19.309790

Współrzędne w systemie 1992:
A: x 434184,77; y 521678,59
B: x 432704,26; y 521378,55
C: x 432884,71; y 520466,16
D: x 431184,71; y 523410,68
E: x 430784,58; y 521678,60
F: x 433050,62; y 522178,63
G: x 432884,59; y 522891,04
H: x 432184,59; y 522278,64
I: x 431184,69; y 519946,54
J: x 431318,56; y 522178,60
K: x 432184,65; y 520678,57
L: x 431665,00; y 521378,62

Skoro wszystkie linie łączące pary punktów spotkają się w jednym punkcie to wystarczy wybrać tylko dwie pary i znaleźć przecięcie dwóch punktów. Można to zrobić zarówno graficznie używając map Google lub Geoportalu 2 jak i arytmetycznie. Polecam sposób pierwszy, poniżej przedstawiam kroki jakie należy wykonać:

Używając usług Google:

• Zaloguj się do konta Google (najlepiej swojego);

• Uruchom Mapy Google;

• Kliknij w lewą część pola wyszukiwania a następnie kliknij w łącze “Twoje miejsca”, wybierz zakładkę “MAPY”;

• Kliknij na “utwórz mapę” w celu utworzenia nowej mapy, na której będziesz pracować;

• Znajdź miejsca wybranych punktów i przypnij w nich pinezki;

• Użyj narzędzia “rysuj linię” → “dodaj linię lub kształt” aby narysować proste łączące odpowiednie pinezki;

• Na przecięciu tych linii leży interesujące Was miejsce.

Używając Geoportalu:

• Przejdź do portalu Geoportal2 przez to łącze (od razu wyświetli się Konstantynów Łódzki);

• W prawym górnym rogu kliknij na ikonę największego oka aby włączyć widok “pełny”;

• W lewym górnym rogu znajduje się menu, z którego “wybierz pomiary” → “mierz odległość”, użyj tego narzędzia aby połączyć odpowiednie miejsca (niestety nie ma tu wygodnego narzędzia wyszukiwania i wszystkie miejsca trzeba będzie poszukać po współrzędnych samemu śledząc je na dolnym pasku);

• Na przecięciu tych linii leży interesujące nas miejsce.

Arytmetyczny sposób jest dużo trudniejszy ale również da się go wykonać. Załóżmy, że nasze pary punktów to F-G i H-I. Wtedy obliczenia należy wykonać następująco:

• Należy obliczyć parametry “a” i “b” równania prostej przechodzącej przez ekstrema punkty F i G. W tym celu trzeba by rozwiązać układ dwóch równań:

dla systemu 1992:

y_F = a * x_F + b

y_G = a * x_G + b

albo, jeśli używasz systemu WGS84:

Szer_F = a * Dł_F + b

Szer_G = a * Dł_G + b

Oczywiście parametry a i b będą miały inne wartości dla różnych systemów współrzędnych.

• W ten sam sposób należy znaleźć parametry (nazwijmy je “c” i “d”) dla prostej przechodzącej przez punkty H i I:

dla systemu 1992:

y_H = c * x_H + d

y_I = c * x_I + d

albo, jeśli używasz systemu WGS84:

Szer_H = c * Dł_H + d

Szer_I = c * Dł_I + d

Oczywiście parametry c i d będą miały inne wartości dla różnych systemów współrzędnych.

• Teraz obliczamy punkt przecięcia tych linii rozwiązując kolejny układ równań:

dla systemu 1992:

y_Śr = a * x_Śr + b

y_Śr = c * x_Śr + d

albo, jeśli używasz systemu WGS84:

Szer_Śr = a * Dł_Śr + b

Szer_Śr = c * Dł_Śr + d

Jak już obliczycie współrzędne środka to udajcie się na miejsce. W geometrycznym środku Konstantynowa Łódzkiego znajdziecie słupek geodezyjny. W bardzo bliskiej okolicy słupka znajdziecie skrzynkę. Jest to zielona budka na wysokości około 3 metrów, na drzewie rosnącym na skraju pola. Trzeba będzie się wykazać odrobiną sprawności fizycznej ale pojawiające się regularnie w okolicy nieprzebrane ilości butelek po wódce każą mi utrudnić życie tambylcom. Należy uchylić wschodnią połę dachu. Weźcie coś do pisania.

p.s.: Ten środek obciążony jest pewną wadą. W niekorzystnych warunkach może wypaść poza obszarem, którego dotyczy. Stanie się to w sytuacji kiedy terytorium będzie mało zwarte. Natomiast jego ogromną zaletą jest fakt, że zawsze da się taki środek wyliczyć zaś jego punkt w znakomitej większości przypadków będzie wypadał tam, gdzie rzeczywiście intuicyjnie umieścilibyśmy środek. Jednak złożoność obliczeń jakie trzeba wykonać (całka po skomplikowanej figurze geometrycznej) dyskwalifikuje go na tyle, że nie znalazłem ani jednego przykładu wykorzystania takiego podejścia do obliczenia środka jakiegokolwiek obszaru. Nie zmienia to faktu, że jest to mój ulubiony sposób na określenie środka terytorium.